庞加莱是有史以下寰宇上最伟大、最有创见的数学家和物理学家之一。他差极少抢在爱因斯坦之前发现狭义相对论。他险些是凭一己之力创建了现代数学的一个极其蹙迫的分支 —— 代数拓扑学。庞加莱常识宽泛，配置斐然，其研究涵盖了数学的好几个分支，以及天膂力学、现代物理学甚而心思学，因此他被称为世上终末一位伟大的科学全才。

庞加菜很像黎曼，心爱从基开心趣登程，开展我方的研究职责，而不是把研究开发在其他东说念主的恶果甚而我方先前的职责之上。现今大多数数学家觉得他是有史以来最伟大的天才之一。他还对数学念念维的内容有着一种浓厚的兴味。1908 年，他在反省我方念念想经由的基础上，作了对于数学创造性的著名演讲，题目为“数学的发明”。

庞加莱我方写说念∶“咱们通过逻辑去诠释，通过直观去创造。”他尤其不赞同希尔伯特的不雅点∶数学推理能被公理化并（在原则上）被“机械化”。这是一个庞加莱觉得不可能得胜的野心，自后哥德尔诠释他是对的。

庞加莱对数学的第一个要紧孝敬是创立了自守函数的见解和表面，这是一类从复数到复数的额外函数。在他随后的生存中，庞加莱对触及复数的函数作了进一步的研究，东说念主们深广把他誉为多复变认识函数表面的创建者。他还研究了数论和几何学。

在庞加莱对拓扑学的研究中，产生了一个寰宇辛勤∶庞加莱算计。1895 年，庞加莱出书了他的文章《位置分析》。在这本书中，庞加莱引进了拓扑学中的险些扫数的见解和主要阵势。

拓扑学是一种“超几何”。数学家通过拓扑学研究曲面和其他数学对象的相配一般的性质。在拓扑学中，数学家的兴味大都集合在三维或更高维的数学对象上，庞加莱诞妄地觉得某个对于二维物体很明白的事实对于三维或更高维的近似对象也会设立（这是庞加莱算计的来源）。

二维拓扑学就怕被很有逸想性地称为“橡皮膜几何学”。

1931 年，英国的贝克设计了现在的伦敦地铁。这张舆图被觉得是最佳舆图之一，许多东说念主试图对它进行改造，都莫得得胜。这张舆图把苟简性与外在的好意思连合在了一王人，现在依然成为伦敦的记号，亦然全寰宇地铁舆图的典范。

这张舆图涌现出了拓扑学的宏大威力。事实上，这张舆图在每一个方面都是不准确的。但它精确地态状了别称乘客需要从这张舆图中获取的信息 —— 什么地点上车，什么地点下车，什么地点换线，从而而糟跶了其他扫数的细节。

这个例子说明了二维拓扑学的内容。如若把那张地铁舆图印在一张具有极好弹性的橡皮膜上，它就不错被拉伸和压缩得使每个细节都正确，从而酿成一张法度的、地舆上准确的舆图。用数学术语说，原因在于这个收罗结构（界说为由不同直线联结的点的集中）的布局是一个拓扑性质。约略地说，收罗是拓扑对象。你不舛误会和拉伸一个收罗中的任何连线，而不会改变其总体布局。要改变这个收罗，你必须断开一条连线或加多一条新的连线。这对电路图、电路自己、谋略机芯片、电话收罗和互联网都设立。

这等于为什么现活着界上“橡皮膜几何学”是最蹙迫的数学分支之一。在地铁舆图的情况中，只消它在拓扑上是准确的，制图上是不是准确没相联系。近似地，对于电路或谋略机芯片的设计，蹙迫的是收罗的布局。如若布局在拓扑上是准确的，那么电线的位置可等闲调动，以抖擞其他的设计条款。在谋略机芯片的设计中亦然如斯，要津是蚀刻在硅片上的电路必须在拓扑上是准确的。

一般说，二维拓扑学（橡皮膜几何学）是研究图形的这样一种性质∶把这图形画在一张（想象的）具有极好弹性的橡皮膜上，然后误会和拉伸这张膜，这种性质仍然保持不变。其实，拓扑学的发展不是由任何应用数学范畴的需要驱动的。相背，它来自地说念数学的里面，来自于想意会微积分为什么有用而进行的奋发。

从牛顿和莱布尼茨在 17 世纪中世发明微积分的那一刻启动，数学家就宽泛地使用了它。关联词，没东说念主信得过意会为什么微积分会有用。在一无数数学家长达 300 年的发愤下得到了（他们对实数和无限经由的人道，以及数学推理自己进行了详备的分析），这终于得到了解释。

但这也让数学变得越来越详细了。19 世纪出现了大量的新类型对象和模式，它们不属于日常教养的任何一部分。在最近 200 年间数学家研究的新对象和新模式中，有非欧几何（平行线不错相交）、四维和更高维的几何学、无限维几何学、用标记代表图形对称性的代数（称为群论）、用标记代表逻辑念念维的代数（命题逻辑），以及用标记代表二维或三维空间中通顺的代数（向量代数）。

在详细性的扩增中，拓扑学也随之出现了。一启动想法是发明一种“几何学”，来研究图形不会被一语气变形所贬抑的性质，因此这种几何学不依赖于直线、圆、立方体这些见解，也不依赖于长度、面积、体积、角度这些度量。在拓扑学中，研究的对象称为拓扑空间。

拓扑学与“微积分若何会有用”之间的连系十分深邃。在内容上，这两者都依赖于能把抓无限小。关联词拓扑变换与无限小会有什么关系？这要津等于∶从直不雅上说，拓扑变换的内容是，两个在变换前“无限围聚”的点，在变换后仍然保持“无限围聚”。格外是把一张橡皮膜不管若何拉伸、压缩或误会，都不会贬抑这种围聚性。一启动互相围聚的两个点在操作完成后照旧保持围聚。

持重，这里所说的围聚的见解是相对于拓扑空间中扫数其他点而言的。咱们不错拉伸这张膜，使得两个着手紧靠在一王人的点在咱们看来不再紧靠在一王人。关联词在这种情况下，“围聚性”的变化是一个咱们从外部施加的几何变化。从橡皮膜的角度看，这两个点仍然是紧靠在一王人的。

贬抑围聚性的独一阵势是割破或撕开这张膜 —— 这是一种在拓扑学中被不容的操作。

要发展拓扑学，数学家必须找到一种方式来把抓相对围聚这一要津念念想。为此，他们入辖下手寻找一种能证明两点“无限围聚”这一假设性见解的方式。直不雅上说，拓扑变换具有这样的性质，

如若两个点一启动是无限围聚在一王人的，那么在进行了这种变换之后它们仍将如斯。

这种阵势的问题在于“无限围聚”这个见解不是一个界说精雅（well-defined）的见解。关联词，通过这种方式来议论拓扑变换，数学家找到了一种能给拓扑变换下一个精确界说的方式（别指望我在这里给出界说）。这时，就不错用拓扑变换的见解来精确地分析“无限围聚”这个直不雅见解。通过这种方式，他们在一种严格的好奇上发展了微积分。

这等于庞加莱和其他数学家创立拓扑学的主要原因。第一次遭遇拓扑学的东说念主心中会产生一个问题∶对于拓扑空间。拓扑空间不仅莫得直线，也莫得固定形状的见解，更莫得任何类型的距离。你所能说的仅仅什么时候两点互相围聚。

拓扑学是现代数学中最丰富多彩、最有魔力和最蹙迫的分支之一，在数学、物理学和其他范畴中有着许多应用。这里只提一个蹙迫的应用∶拓扑学是超弦表面的数学基础，而超弦表面是对于天地内容的最新表面。

让咱们看一看拓扑学家研究的东西。为约略起见，我只限于二维的情况。并念念考一下高中几何中有什么性质不错振荡到拓扑学中。因为拉伸和误会橡皮膜将把直线变成弧线，并改变距离和角度，是以这些咱们熟习的几何见解在拓扑学中毫无好奇。

那么还剩下什么呢？还有线和闭圈（环）。如若你在一个具有极好弹性的橡皮膜上画一个圈，那么非论你如何拉伸、压缩和误会这张橡皮膜，这个圈仍然是一个圈。还有什么呢？

为修起这个问题，我给你们望望第一个拓扑学恶果。它归功于瑞士大数学家欧拉。1735 年，欧拉科罚了一个持久悬而未决的辛勤 —— 柯尼斯堡桥问题。柯尼斯堡的许多市民民风与家东说念主一王人来此分散，他们频频要走过好几座桥。于是有了一个频频筹划的问题∶是不是有一条道路，正巧每座桥只走过一次？

欧拉意志到岛和桥的准确位置是不关紧要的，蹙迫的是这些桥的联结方式，也等于说，由桥酿成的收罗。这个问题是一个拓扑学问题，而不是几何学问题。

于是欧拉论证如下。取任何一个收罗，假设有一条行进道路，正巧每条边只走过一次。任何一个结点文爱 x，只消不是这条道路的登程点或至极，必定有偶数条边在此相交，这是因为这些边不错按一条路进一条路出的方式配成对。关联词在这个由桥构成的收罗中，那 4 个极点都是有奇数条边在哪里相交。因此不可能有这样的道路。论断是，经过柯尼斯堡的每座桥正巧一次的道路是不存在的。

这个对柯尼斯堡桥问题的解答产生了寰宇上第一个拓扑学定理。欧拉诠释了对于画在平面上的任何一个收罗，如若 V 是极点（结点）的总额，E 是边（或连线）的总额，F 是 "面"（由 3 条或更多条边围成的阻滞区域）的总额，则底下这个约略的公式设立∶

举例，对于柯尼斯堡桥的收罗，有 V=4，E=7，以及 F=4，于是

天然欧拉科罚了第一个拓扑学辛勤，并诠释了第一个拓扑学定理，关联词直到 19 世纪后期，拓扑学才信得过起步。因为在这时，庞加莱登场了！

在拓扑学中，咱们研究图形和对象在一种一语气变形下保持不变的性质。所谓一语气，咱们是指这个变形不触及任何切割、扯破或黏贴。

举例，在拓扑学中，橄榄球与足球是一样的，它们和网球亦然一样的，因为这三种球的任何一种都不错通过一语气变形而变成其他两种。在拓扑学中只存在一种“球”。平时咱们识别出来的各类球之间的辞别，都与大小和形状联系，但这些都不是拓扑性质。

拓扑学的早期研究等于寻找各式方式来说明两个形状什么时候在拓扑上是不同的，庞加莱等于这种探求的一个领军东说念主物。

举例，天然任性两个球都是拓扑交流的，任性两个环面（圆形状、卵形状或其他什么形状的）亦然拓扑交流的，但任何球面与任何环面是拓扑不同的。从直不雅上看，这好像是明白的。毕竟，你好像根柢莫得目的对一个球面进行一语气变换而得到一个环面。问题就在于阿谁不关紧要的词 —— 好像。你若何知说念折服莫得目的作念到这极少？举例，

上图所示的分环才智题中，你能弗成找到一种阵势把图形（a）一语气地变换成图形（b）？容易猜度的阵势是把两个互相扣住的环中的一个堵截（但这不被允许），如（c）所示。但毋庸把环堵截也能作念到。这应该让你信托寻找各式完全可靠的方式来诠释两个对象拓扑交流或拓扑不同，确乎是一个蹙迫的任务。

趁机说下，仅凭没能找到一个把一个对象变成另一个对象的一语气变形，是弗成确证这两个对象拓扑不同的。这里需要的是找到两个对象中一个具有而另一个不具有的某种拓扑性质 —— 即经过一语气变形仍保持不变的性质。

咱们依然遭遇过一个这样的性质。对于任何收罗，V - E＋F 的值等于一个拓扑性质。这个量对任何收罗都交流。

对于二维平面上的网格，V - E＋F=1；对于球面上的收罗（要隐私扫数这个词球面，而不是隐私球面的一部分），V-E＋F=2；而环面上的收罗（相通条款隐私扫数这个词环面），V-E+F =0。于是，咱们不错完好意思有把抓地断言，二维平面、球面和环面是拓扑不同的。对于画在双环面（形状如数字 8）上的收罗，V-E＋F=-2，是以咱们还知说念双环面与平面、球面、环面是拓扑不同的。

对于画在一个特定曲面上的任性收罗，抒发式 V-E＋F 的值是数学家所谓的曲面拓扑不变量的一个例子。如若咱们对这个曲面进行拓扑变换（即一语气变形），这个值将保持不变。为了挂念欧拉的孝敬，东说念主们把 V-E＋F 的值称为曲面的欧拉示性数。拓扑学家已发现了许多可用来详情两个特定曲面是否拓扑等价的拓扑不变量，欧拉示性数是其中之一。

另一个拓扑不变量是一个曲面的色数。它发祥于一个对于舆图着色的经典问题。1852 年，一个名叫格念念里的后生英国数学家冷酷了一个似乎不足为患的问题∶

为了能在职何一张舆图上给各个区域着色，你至少需要若干种样式？

独一的限定是任何两个共有一条巨匠领域的区域必须被着上不同的样式。（如若两个区域仅在极少互相搏斗，那么这个点弗成被看作是巨匠领域。）很容易画出需要四种不相通式的舆图，关联词是不是存在需要五种样式的舆图？谜底是抵赖的，但数学家花了 100 多年时代才诠释了这极少，诠释触及的不仅有好意思妙的数学推理，而且有谋略机的要紧应用。事实上，四色定理是第一个被觉得要使用谋略机才能得到诠释的数学算计。

四色定理明白是一个拓扑学扫尾，因为对画有舆图的纸进行一语气变形，不会改变共有领域的模式。在变形前共有一条巨匠领域的两个区域，在变形后仍然如斯，反之亦然。

四色定理，以及它所修起的阿谁原始问题，都是针对画在平面上的舆图的。关联词你不错对画在职何曲面上的舆图冷酷相通的问题。一个曲面的色数是，对画在这个曲面上的任何舆图都能进行着色所至少需要的样式种数。笔据四色定理，平面的色数是 4。球面的色数亦然 4。环面的色数是 7。

另一个拓扑不变量发祥于“有侧性”（sidedness）的见解 —— 一个曲面有一个侧面照旧有两个侧面。任何曲面都是有两个侧面，不是吗？修起是抵赖的。很容易构造一个只好一个侧面的曲面。拿一条狭长的薄纸带，把它扭转半周，然后把两头黏合在一王人，酿成一个误会的纸圈，

这个误会的纸圈等于仅有一个侧面的曲面，它叫作念莫比乌斯带。除了仅有一个侧面外，默比乌斯带也只好一条边。

默比乌斯带这个例子告诉咱们，有侧性是与有边性牢牢连系在一王人的。时常，数学家善良莫得边的曲面 —— 他们称之为闭曲面。而且，更为好奇好奇的拓扑性质都与曲面的里面结构（曲面是若何误会和翻转的）联系。事实上，对每个有一条边或多条边的曲面，一般存在一个险些具有交流性质的闭曲面。举例，一个球面和一个有限平面（如平坦的桌面）就性质相似，当咱们诠释了一个对于球面的拓扑扫尾，时常立即就有了对于平面的一个扫尾，反之亦然。

从直不雅上说，这是因为咱们不错取一张完全可拉伸的平纸，然后把它的角落抓住，酿成一个阻滞的袋子 ———— 在拓扑学上这等于一个球面。

与默比乌斯带相对应的闭曲面叫作念克莱因瓶。克莱因瓶莫得角落，而且既莫得里面也莫得外部。从表面上说，你不错取两个默比乌斯带，沿着它们那条单一的边把它们黏合在一王人，就酿成了一个克莱因瓶。我说“从表面上说”，是因为你不可能在普通的三维空间中进行这样的操作。克莱因瓶（看成数学一个对象）仅存在于四维空间。在咱们的三维寰宇中，你最佳是允许这个曲面穿过它自身，

在四维空间中，这个瓶子莫得必要穿过它自身。对于普通东说念主来说，一个仅存在于四维空间的对象天然不是实在存在的，但数学家不这样觉得。毕竟，每个东说念主都 "知说念" 负数莫得平方根，但这并莫得贬抑数学家创立了复数，并在施行应用中使用它们。数学的许多宏大威力来自于这样的事实∶

咱们不错用它来研究超出三维寰宇中的生物所构想的对象。

举例，咱们不错研究画在克莱因瓶上的收罗的性质。咱们发现克莱因瓶的欧拉示性数是 0，与环面交流。这是不是意味着克莱因瓶与环面是拓扑等价的？不是！欧拉示性数弗成分歧克莱因瓶与环面，关联词色数能，克莱因瓶的色数是 6，环面是 7。

克莱因瓶的“与其名义单侧性相对应的”拓扑性质是一个称为不可定向性的奇特见解。它是指在克莱因瓶的名义上你弗成分歧左手性与右手性或顺时针旋转与逆时针旋转。如若你在克莱因瓶的名义上画一只的左手，然后把这个图形沿着这名义滑动到鼓胀远（鼓胀远的好奇是，如若这个克莱因瓶在三维空间中，那么这只手要完全通过自相交的瓶颈），于是当它复返登程点的时候，你会发现它不可念念议地变成了一只右手。

这个实验在默比乌斯带上作念更为容易。在这个曲面上画一个小小的左手，然后在其左近复制出这个图形，重叠这个经由，直至回到你的登程点。这时你会发现这只左手变成了右手。或者，在克莱因瓶的名义上或默比乌斯带上画一个小圆圈，用一个箭头暗示顺时针旋转，如若你沿着曲面滑动或复制这个图形，直至你复返登程点，这时你会发现这箭头指向逆时针标的了，

弗成通过沿曲面滑动把左手变成右手或把顺时针变为逆时针的曲面被称为是可定向的。举例，球面（或平面）是可定向的，环面和双环面亦然如斯。一个省略作念到上述改变的曲面，比喻说克莱因瓶或默比乌斯带，被称为是不可定向的。可定向性（或不可定向性）是一种拓扑不变量。

拓扑学当先的恶果之一是诠释了只消有欧拉示性数和可定向性这两个拓扑不变量，就能分歧任何两个闭曲面。这等于说，如若两个闭曲面有交流的欧拉示性数，而且都是可定向的或都是不可定向的，那么它们事实上是等价的。这个扫尾称为曲面分类定理，因为它说只消用这两个特征你就能把扫数的曲面分类（在拓扑学好奇上）。

约略说，曲面分类定理的诠释是通过把球面取为基本曲面并预计任一给定曲面与球面的各异进度（即为把球面调遣成阿谁曲面而不得分歧球面所作念的事）而作出的。这与咱们的直观相一致∶球面是最约略、最基本的闭曲面。

在这种情况下，为把球面调遣成某种另外的曲面而对球面扩充的操作超出了一语气变形这个旧例的拓扑操作。确乎，如若你通过扭转、袭击、拉伸和压缩来改变球面，扫尾得到的对象在拓扑学好奇上仍然是一个球面。要弄清爽曲面若何从球面构造出来以对曲面进行分类，就必须在时常的扭转、拉伸等以外，还允许进行切割和缝合。拓扑学家称这个经由为“割补术”。典型的割补术包括从球面上割下一派或数片，对这些片进行误会、翻转、拉伸或压缩，然后把这些片重新缝到球面上。

分类定理告诉咱们，任何可定向曲面与一个名义上缝合了一定数目“环柄”的球面拓扑等价。你不错通过在球面上切割出两个洞，再用一根管子把它们连起来而得到一个环柄，如下图左边所示，任何不可定向曲面与缝合了一定数目“交叉套”的球面等价。你不错在球面上切割一个洞，再把一个默比乌斯带缝在这个洞的角落上而得到一个交叉套，如下图右边所示。与克莱因瓶的情况一样，在普通的三维空间中，不让默比乌斯带穿过自身是弗成作念成这件事的。

曲面分类定理说，任何光滑闭曲面与带有一定数目环柄或交叉套的球面拓扑等价。

20 世纪早期，庞加莱和其他数学家入辖下手对曲面的高维近似物（他们称为 "流形"）进行分类。他们尝试的阵势近似于那种对二维曲面依然有用的阵势。他们取一个球面的三维近似物（称为“三维球面”）看成基础，并预计任一三维流形与这三维球面（简称 3-流形）的各异进度，以设法对扫数三维流形进行分类。

持重，一个旧例的曲面，如球面或环面，是一个二维对象。天然这个曲面所包围的部分是三维的，但这曲面自己是二维的。

除了平面以外，任何曲面只可在三维或更高维的空间中构造。于是，任何闭曲面都需要三维或更高维的空间。举例，构造一个球面或一个环面就要取一个三维空间，构造一个克莱因瓶就要取一个四维空间。关联词，一个球面、一个环面或一个克莱因瓶都是二维对象 —— 一个莫得厚度的曲面，在原则上不错用一张平坦的具有极好弹性的薄片作念成。

关联词正如球面不错看作是圆（它是一种一维对象 —— 弧线，处在二维空间中）的二维近似物（处在三维空间中），咱们相通不错设计球面的三维近似物（处在四维空间中）。天然，施行上咱们设计不出。关联词咱们能写出详情这样一个对象的方程，况且在数学上研究它。其实，物理学家时常等于研究这种设计出来的对象，并期骗这些扫尾匡助意会咱们所在的天地。3-流形，即曲面的三维近似物（存在于四维或更高维的空间中），就怕被称为超曲面，而球面的三维近似物则被称为超球面。

你不错写出详情三维、四维、五维、六维或任何维的流形的方程。物理学家现时研究的对于物资的数学表面把咱们所在的天地看作有 11 维。笔据这些表面，咱们径直观察到的是这些维中的 3 个维。而其他的维则看成各式不同的物理特质（如电磁放射和把原子连合在一王人的力）把我方进展出来。

庞加莱试图通过取各个维的“球面”看成一种基本图形，然后应用割补术，来对三维和更高维的流形进行分类。在这种尝试中，第一步天然是寻找一种约略的拓扑性质，它不错告诉你什么时候一个给定的（超）曲面与（超）球面拓扑等价。

记着，咱们在这里作念的是拓扑学。甚而在旧例二维曲面这种约略的情况中，一个曲面可能进展得极其复杂，但扫尾仍然能通过一语气变形变成一个球面。

在二维曲面的情况中，存在这样的一个性质。假设你取一支铅笔，在一个球面上画出一个约略的闭圈。现在想象这个圈裁汰得越来越小，裁汰时保持在球面上滑动。这个圈不错裁汰到多小是否有个放肆呢？明白莫得。你不错把这个圈裁汰得无法与点区别开来。从数学上说，你不错把它真是裁汰成一个点。

如若你一启动是在一个环面上画出一个圈，那么不一定会发生相通的事情。任性画在一个曲面上的圈能裁汰到极少的性质是一种只好球面才具有的曲面拓扑性质。这等于说，如若有一个曲面，它上头的每一个圈（“每一个”在这里很蹙迫）都能不离开这曲面而裁汰成极少，那么这个曲面与球面拓扑等价。

对一个三维超球面，这极少相通设立吗？这是庞加莱在 20 世纪初冷酷的问题，这是他通向一个三维超曲面分类定理之路的第一步。他创立了一个系统的阵势（称为同伦论），来研究当一些圈在一个流形上迁徙和变形时这些圈会发生什么情况。

事实上，情况并非如斯。着手，庞加莱臆断三维流形的圈裁汰性质确乎是三维球面的特征。关联词，过了一段时代后，他意志到他的臆断可能不设立。1904 年，他把他的疑问发表，

议论一个莫得领域的三维紧流形 V，即使 V 与三维球面不同胚，V 的基本群是不是也不错是庸碌的？

降维说等于，

一个具有圈裁汰性质的三维流形是不是可能不与三维球面等价？

庞加莱算计就此出身！

1960 年，好意思国数学家斯梅尔（Stephen Smale）诠释了对扫数五维和五维以上的流形，庞加莱算计是正确的。这样，如若一个五维或更高维的流形有这个性质，即画在它上头的任何闭圈不错裁汰成极少，则这个流形与同维的超球面是拓扑等价的。

缺憾的是，斯梅尔使用的阵势弗成期骗到三维或四维流形，因此原初的庞加莱算计仍然未能科罚。自后，在 1981 年，另一个好意思国东说念主弗里德曼发现了一种阵势，诠释了对于四维流形的庞加莱算计。

问题还莫得科罚。庞加莱算计已被诠释对每一维都是正确的，除了三维。斯梅尔和弗里德曼由于他们的配置，都得到了菲尔兹奖。最先诠释庞加莱算计的这个独一余谅解况的东说念主无疑将得到相通的荣誉。

2003 年，俄罗斯数学家格里戈里・佩雷尔曼诠释了庞加莱算计的三维情形，2006 年，数学界最终阐明佩雷尔曼的诠释科罚了庞加莱算计。

本文来自微信公众号：老瞎掰科学 （ID：LaohuSci），作家：我才是老胡

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